左旋
今定一之对数为单一求对数根
法先以一开平方五次或开平方三次三乘方一次或平方一次三乘方二次皆可但取其降位易而已得折小第三十二率一七四六七八二八三二一三一七四九七为对数根之用数用数见后第三十二率以前各率为用数则降位稍难若三十二率以后皆可为用数不必定用三十二率也置用数减去首位单一以除用数得一四四三四一九二一八八六八六五三九为递次除法用数为通田除法用数减首位为通用乘法此即前所云以乘法除除法为递次除法则一次除可代一乘一除也乃以除法除单
一以折小率三十二乘之得二二二一六九四六九二四九六三二六六为第一数正除法除第一数一乘之二除之得七七一二三八六四一六七八三为第二数正除法除第二数二乘之三除之得三五六九七一六四九二五一二二为第三数正除法除第三数三乘之四除之得一八五八七七八二四九九八五为第四数正除法除第四数四乘之五除之得一三二四九四四二八三为第五数正如是递求得五九七三一七三三七四一为第六数正三五五四六一六三一三为第七数正二一五九四一四六为
第八数正一三三二六五三为第九数正八三二七一为第十数正五二五五七为第十一数正三三四五为第十二数正二一四为第十三数正一四为第十四数正一为第十五数正乃诸正数得二三二五八五九二九九四四五七七为首率单一为中率求得末率四三四二九四四八一九三二五一八一一即对数根也
用数一七四六七八二八三二一三一七四九七除法一四四三四一九二一八八六八六五三九第一数二二二一六九四六九二四九六三二六六除法除之一乘二除得二七七一二三八六四一六七八三同二三三三五六九七一六四九二五一二二同三四四一八五八七七八二四九九八五同四五五一三二四九四四二八三同五六六五九七三一七三三七四一同六七七三五五四六一六三一三同七八八二一五九四一四六同八九九一三三二六五三同九十十八三二七一同十十一十一五二五
五七同十一十二十二三三四五同十二十三十三二一四同十三十四十四一四同十四十五十五一得数首率二三二五八五九二九九四四五七七中率一
末率四三四二九四四八一九三二五一八一一按此即以一为本数第一率依第一术求折小第一无量数率也其第一数本为单一凡求极多率者初商恒为单一依对数例以单一下之零数为比例而截去首位故置第一数不用而竟以第二数为第一数也其以三十二乘之者缘用数系本数之折小第三十二率当于求得数后以三十二乘之为所求数而以三十二乘第一数其得数亦同也所异者求法既依第一术则第二数应以一无量数加一乘之二无量数除之而何以用一乘二除不知求极多率者无加一之差也
今试以九乘方言之其率分为十其乘法十一与除法二十之比较一与二之比所差尚大若两位九乘方谓九十九乘方其率分为百而一百零一与二百之比较一与二之比所差较微若三位九乘方谓九百九十九乘方其率分为千而一千零一与二千之比较一与二之比其差更微由是推之多位九乘方则其差必极微而可以不计矣且非特不计已也譬之割圆有大弧弦求析分小弧弦每数乘法有分子之减差析之愈小减差愈微若求弧则有分母无分子此减差而无之盖稍有减差则亦稍有觚棱而非真弧矣
求对数根亦然必须开无穷无尽极多位九乘方此加差而无之然后求至数百千位而无不合若稍有加差则必滞于第几率而求至多位反不合矣即如开平方五十四次而所求之对数根不过十五六位若欲增求一位必须再开三四次不能如前法之求几位即得几位者以其滞于一兆八千余亿率也然则一乘二除二乘三除正开无穷无尽极多位九乘方之法无以名之姑名为折小第一无量数率耳
论用数
戴煦
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