左旋
法检本率乘数之开方初商表取其较大于本数者以其根为第一数正 次以本数为除法初商实内减本数其减余数为乘法乃以乘法乘第一数除法除之又以率分除之为第二数负 乘法乘第二数除法除之又以率分加一乘之二因率分除之为第三数正 乘法乘第三数除法除之二因率分加一乘之三因率分除之为第四数负 乘法乘第四数除法除之三因率分加一乘之四因率分除之为第五数正 如是递求至应求位数乃诸正数又诸负数减之得所求
按前二术予所定与项氏所定暗合
以本数为根求倍大各率
第一术
法任截本数几位依本率乘数累乘之为第一数正 次以本数为除法本数内减截去数为乘法其所求第几率名为率数乃以乘法乘第一数除法除之又以率数乘之为第二数正 乘法乘第二数除法除之又以率数加一乘之二除之为第三数正 乘法乘第三数除法除之率数加二乘之三除之为第四数正 乘法乘第四数除法除之率数加三乘之四除之为第五数正 如是递求至单位下乃诸正数得所求
第二术
法任截本数几位依本率乘数累乘之为第一数正 次以截去数为除法本数内减截去数其减余数为乘法乃以乘法乘第一数除法除之又以率数乘之为第二数正 乘法乘第二数除法除之率数减一乘之二除之为第三数正 乘法乘第三数除法除之率数减二乘之三除之为第四数正 乘法乘第四数除法除之率数减三乘之四除之为第五数正 如是递求至率数减尽而止乃诸正数得所求
第三术
法任截本数几位于末位加一依本率乘数累乘之为第一数正 次以截去数加一为除法截去数加一内减本数其减余数为乘法乃以乘法乘第一数除法除之又以率数乘之为第二数负 乘法乘第二数除法除之率数减一乘之二除之为第三数正 乘法乘第三数除法除之率数减二乘之三除之为第四数负乘法乘第四数除法除之率数减三乘之四除之为第五数正 如是递求至率数减尽而止乃诸正数又诸负数减之得所求
第四术
法任截本数几位依前术加一依本率乘数累乘之为第一数正 次之本数为除法截去数加一内减本数其减余数为乘法乃以乘法乘第一数除法除之又以率数乘之为第二数负 乘法乘第二数除法除之率数加一乘之二除之为第三数正 乘法乘第三数除法除之率数加二乘之三除之为第四数负 乘法乘第四数除法除之率数加三乘之四除之为第五数正 如是递求至单位下乃诸正数又诸负数减之得所求
按有本数求倍大折小各率本通为一法非有二义其第二数倍大用率数乘者缘率分率数与单一为三率连比例率分为首率则单一为中率率数为末率故以率分除之之数即同于率数乘之之数而折小各率率分整而率数零故用率分为便倍大各率率数整而率分零故用率数为便也其第三数以率数加减一乘之二除之者缘连比例首率与中率之比同于中率与末率之比前四术首率内加减中率乘之倍首率除之后四术中率内加减末率乘之倍中率除之其得数必同也以下各数义仿此其第二
三术与前第二三术正负各异者缘乘法虽云率数内减一实一内减率数其减余为负算故乘为负乘既为负乘则乘后之正负必变故能变逐数皆负者为正负相闲变正负相间者为逐数皆正也其率数减尽而止者凡算例以适足为实任以正数负数乘除之必仍为适足或正负数为实以适足数乘除之亦为适足故率数减尽则以下无数也
又按前四术可为开方捷法后四术所求止须以本数累乘即得而挨次递求似乎较烦然开方与累乘但能求倍大折小各整率若前八术则凡第一数可知者虽零率亦可求用之对数为尤要也又按每数通用之乘法除法若先以除法除乘法用为递次乘法则一次乘可代一乘一除若先以乘法除除法用为递次除法则一次除可代一乘一除
论对数根
戴煦
对数根者诸对数之所生即单一下无数空位零一之对数也旧法以一为积开方五十四次以其方根单一下空位后所带之零数为一率单一折半五十四次即一兆八千余亿除单一之数为二率单一下十五空位零一之一为三率求得四率为对数根夫以一为积开方五十四次即以一为本数第一率求折小第一兆八千零一十四万三千九百八十五亿零九百八十四万一千九百八十四率也今有本数即可求折小各率则是第五十四次开方数可以径求矣既可径求则求第一兆八千余亿率不如求第一无量数率一无量数犹云一千或一万何也
盖一兆八千余亿率为第五十四次开方数之率分其位数甚多用连比例求得率数亦有多位即第五十四次开方数之对数而布算甚繁一无量数数虽极大而仍为一不过一下有无数空位耳以为首率用连比例求末率必为单位下无数空位零一此即求对数根四率之二率数既为一可省多位乘法一次且一无量数较一兆有零为尤密也
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