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2-皇朝经世文三编-清-陈忠倚-第54页
点至壬作丁壬小矢自壬至丙作壬丙线 以丁壬丙[为 界](乙)即 分弧矢田为两平分
解曰丁壬甲等于丁 壬乙自壬与乙丙平行作壬戊线与甲丙平行作壬辛线则成壬戊甲壬戊 丙辛壬乙辛壬丙四句股形等式等积甲壬丙乙壬丙皆得二句股积故等
又解曰丁壬甲等于 丁壬乙甲壬丙乙壬丙二三角形其底等甲壬 等于乙壬其高又 等 同以壬丙为高 故其积等
弧矢形内求任 作相切二圆其心俱在弧背其周俱切弦其法若何
杨兆鋆
* 图略
法自大圆心作心甲 半径取甲点作戊辛之垂线甲丙以甲为心甲乙为度作圆 乙即甲圆周切弦之一点 引长甲丙线至丁作丁甲 半径 甲即甲圆心切弦之一点 自丁至戊作丁戊线割甲 圆周于己即二圆切点乃作甲己线引长至弧背得庚点即为庚圆心以庚 己为度作圆其切弦点为壬即丁戊线交弦之点也
三角内求作相 等相切六圆
懿善
* 图略
平分三边形之三边 于一二三作乙一丙 二甲三三中垂线相交于丁平分丁甲一 角作分角线遇丁一线于子以丁为心以丁子为度度于二三两线遇于丑与寅则丑子寅为所求之三圆心而子一为其半径若过 子点作线与甲丙边平行遇甲三丙二两 线于卯辰又自卯与辰各作线与甲乙乙丙两线平行则得又三圆心
有长椭圆体及 圆锥体椭圆短径等于锥之底径长径等于锥高此二体和即等径等高之 圆柱试解其理
蔡锡勇
* 图略
如图甲乙丙丁为圆 柱积其长甲乙 戊己丙丁并同 即戊己庚辛椭圆体之长径戊 [ 乙 ](己) 丁锥体之高其阔甲丙 庚辛乙丁并同 即椭圆体之短径锥体之底径夫浑圆本得同径圆柱积三分之二锥体得 三分之一椭圆亦然今以甲丙短径求得甲壬丙癸圆面甲乙乘之为柱 积三归之为戊庚辛半椭圆积亦为戊乙丁圆锥积则戊庚己辛全椭圆积 必得圆柱积三分之二戊乙丁圆锥积必得圆柱积三分之一故相并即圆 柱积也
大球截积内求 所容相等相切三球
蔡兆熊
* 图略
如图子辰午为大球 截积子午为截积通弦己午为正弦取丑未倍己午作丑未寅等边三角形 其中垂线寅己引长己申至卯今申卯等于半己申以卯为心寅为界截辰 卯线于酉则酉己为小球全径乃于截积平圆内面以圆心己为心酉己 为边作等 [ 边 ](趋) 边三角其三角点即小球 切点也
又图设三球心为乙 为丙为甲作三线相连成乙甲丙等边三角形其心为戊丁为大球心作丁 戊丁丙成戊丙丁句股乃立小球半径为天以代数求之
* 算式略
依式是三正弦为方 正字上大矢为长阔较开四个方得小球半径三大矢为长阔较开一个方 为小球全径寅己方三倍午己方己卯为半较得酉己即为小球径
六面体内容八 面体其二体比例若何
汪凤藻
* 图略
如图甲乙正六面体 先求作内容八等面体法取子乙乙丑丑卯卯子四面之心丙丁戊己四点 作丙己己戊戊丁丁丙四线成丙戊直角四等边形即内容八面体半锥体 之底面次取子丑乙卯二面之心庚辛二点作庚丙庚丁庚己庚戊辛戊 辛丁辛己辛丙八线成庚辛丁己八等面体其六角均切六面体之面心欲 明二体之比例命六面体之一边为甲八面体之一边为乙以数明之
* 算式略
不等面立三角 求重心其法若何
汪凤藻
法任以一面为底面 求得其重心点自此点至顶角作线必过立三角重心复取一面如法作之 得二线交点即所求准此自底面取重心线四分之一即重心
今有正圆球三 角垛共十球球径一尺求垛顶至平面高若干
杜法孟
答曰二尺六 寸三分强
* 图略
法自上层一球与中 层三球四球心作六线成六等边形边与球径等以一边为弦半边为句求 得股为每一线之中垂线又以一边为弦中垂线三分之二 即分角线为句 求得股为六等边自尖至底中心之立垂线倍之加球径为垛顶至平面之 高
如图子丑辰卯己午 未寅酉申十球子为上层辰丑卯为中层己午未寅酉申为下层试自子辰 丑卯四球心作甲乙丙丁六边形棱六角四平铺之则面亦四 如壬辛各成一 等边三角形试以乙丙丁一面为底取乙丙一边为弦丁丙一边折半为句 求得乙戊股为底面之中垂线又以甲丙一边为弦己丙 中垂线三分之二 为句求得甲己股为自尖 至底中心之立垂线即六边行之高亦即上层球心至中层球心之高亦即 中层球心至层底球心之高故倍之加上下二半径得垛顶至平面之高
又法以倍球径为边 作六等边形如前法求得立垂线加球径即得如前图甲乙边倍则甲己立 垂线必倍故加球径即得
又法以每边自乘三 归二因开平方即得自尖至底中心之立垂线如前图戊丙为甲丙线之半 则戊丙方为甲丙方四分之一甲戊方必为甲丙方四分之三亦十二分之九又己戊线 为甲戊线三分之一则己戊方为甲戊方九分之一甲 己方必为甲戊方九分之八亦即甲丙方十二分之八亦即甲丙方三分之 二故以每边自乘三归二因开平方得立垂线
今有官司依平 方