左旋
又问求对数根别有法乎曰无论以若干数之自然对数除本数之定准对数皆得对数根以对数根乘诸自然对数既得诸定准对数则以诸自然对数除诸定准对数必得对数根但诸数之自然对数与定准对数恒难兼而有之如二可得自然对数不能得定准对数十之平方根可得定准对数不能得自然对数试思何数可兼得自然与定准两对数则得对数根矣间尝于戴李二法外另立二法此二法比戴李之法亦大略相似前一法与戴法相似后一法与李法相似此法任取略大于单一之数皆可为求对数根之借端明乎
此然后觉求之术途径甚宽非一格所能限矣法如左
一任取略大于单一之数为借根屡自再乘至比十略大或略小而止为借积以十为本积视借根屡自再乘为若干次即以十开若干乘方得数为十之若干乘方根次以此方根为本数以若干乘方之廉率除十之定准对数单一为本数之定准对数复由本数求得自然对数然后以自然对数除定准对数得对数根
假如任取一一为借根自乘得一二一为平方以平方自乘得一四六四一为三乘方以三乘方自乘得二一四三五八八八一为七乘方以七乘方自乘得四五九四九七二九八六三为十五乘方又以七乘方乘之得九八四九七三二六七五为二十三乘方此法较以一一累乘二十三次略捷视二十三乘方之数与十相近而略小乃以此数为借积十为本积求十之二十三乘方根法以借积减本积得一五二六七三二五为屡次乘法十为屡次除法置借根一一为第一数乘法乘第一数除法除之得一六五二
九四五八以廉率二十四除之得六八八七二五三为第二数除法除之得一三四九三以二十五乘之四十八除之即廉率加一乘之二因廉率除之得五三九四为第三数乘法乘第三数除法除之得八一以四十九乘之七十二除之得五五一为第四数乘法乘第四数除法除之得八以七十三乘之九十六除之得六为第五数诸数相得一一六九四一七一四为十之二十三乘方根以上用开方第一术
次以十之二十三乘方根为本数以廉率二十四除十之定准对数得四一六六六六六六七为本数之定准对数仍以开方术求本数之自然对数法以单一为借积即为屡次除法以借积减本数得一六九四一七一四为较积即为屡次乘法置借根单一借积一借根必仍为一以乘法乘之除法除之得一六九四一七一四合以一无量数除之今不除寄为母即为第一数正本系第二数因但求方根零数故径以第二数为第一数乘法乘第一数除法为单一除与不除无异故可省去得一一三九三一六一又一
乘之二除之一乘二除与一无量数乘二无量数除等得五六九六五八一为第二数负乘法乘第二数得五一四八五又二乘之三除之得三四三二三三为第三数正乘法乘第三数得三四二六八五又三乘之四除之得二五七一四为第四数负如是求得二七四为第五数正一七三八为第六数负一五为第七数正一三为第八数负一为第九数正诸正数相诸负数以减之得九五九四一四五六合以一无量数乘之因第一数已寄一无量数为母是此数已为一无量数与方根零数相乘之数故即为借积与
本数之对数较又此对数较合加借积之对数为本数之对数而借积系单一无对数可加诸数之中惟单一无对数故此对数较即为本数之自然对数置本数之定准对数四一六六六六六六七以自然对数九五九四一四五六除之得四三四二九四四八二即对数根也以上用开方第二术
一任取略大于单一之数为本数求得自然对数次以本数屡自再乘至比十略小或略大而止复求得此数与十之自然对数较次置先所求自然对数以屡自再乘之次数加一乘之以后所求自然对数较加之得十之自然对数然后以十之自然对数除十之定准对数单一得对数根
假如任取一一为本数求其自然对数法以单一为借积即为屡次除法以借积减本数得一为较积即为屡次乘法置借根单一降一位屡乘法除法皆为一乘除所得之数但降一位而数不变故以降一位代乘除一次也得一为第一数正此处寄母及得数后不复以无量数乘之之说俱已见前置第一数降一位一乘之二除之得五为第二数负置第二数降一位二乘之三乘之得三三三三三三为第三数正置第三数降一位三乘之四除之得二五为第四数负如是求得二为第五数正一六七为第六数负一
四为第七数正一为第八数负诸正数相诸负数以减之得九五三一一八为一一之自然对以上用开方第二术
次以一一累乘二十三次得九八四九七三二六七五为一一之二十三乘方视此数与十相近而略小乃以此数为小积十为大积复开无量数九乘方求大小两积之对数较法置大积自除得一为大借积以大积除小积得九八四九七三二六七五为小借积以减大借积得一五二六七三二五为较积乃以较积除小借积得六
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