左旋
夫囷之求积以囷之外面皮积为底以半径为高作立方为囷之两倍球之求积以球之外面皮积为底以半径为高作立方为球之三倍今既知球之三倍囷之两倍为相等则两立方等矣又知两立方之高同以半径为高则其底亦必等矣是故球之外面皮积与囷之外面皮积必等是故球之中腰大圈乘圆径即球之外面皮积再就前截体观之以球心为心依球壳所截上面小象限弧为界以半径周遭割之剜出一象限锥此锥以小象限为底此象限以正弦为半径以余弦为高是为内锥再依前法将截球壳
外圆囷所多之积割出准前论知此亦为一象限锥此锥以大象限球半径为半径小象限截球正弦为半径之面积较为底即余弦为半径所作之象限亦以余弦为高是为外锥内锥外锥相并为一大锥亦以余弦为高即原截体之高而以大象限半径即球半径为底即原截体之底此锥必为原截体三分之一上下两面平行体与锥体同底同高则锥必居三分之一而所余者必为三分之二矣
圆囷既剜去内锥割去外锥则所余为圆球截积空中如外面则上小下大必居圆囷三分之二求圆囷截积者囷外面皮截积为底半径为高作立方为截囷之倍积求圆球截积者球外面皮截积为底半径为高作立方为截球之三倍积今既知截囷与截球若三与二则截囷两倍之立方与截球三倍之立方亦必等矣又知立方之高为相等之半径则其底亦不得不等矣是故截球之外面皮积与截囷之外面皮积必等是故截球余弦高乘球之中周大圈即截球之外面皮截积全球之外面皮积即圆径乘周也半球之外面皮积即半径乘周也
截球之外面皮积即余弦乘周也上截球盖之外面皮积即矢乘周也球径求积术
径自乘再乘半之为第一数 四分第一数之一又二分去一三分去二为第二数 四分第二数之一又四分去一五分去二为第三数 四分第三数之一又六分去一七分去二为第四数 四分第四数之一又八分去一九分去二为第五数 诸数相并即球积 球径求球壳积术
径自乘三之为第一数 四分第一数之一又二分去一三分去二为第二数 四分第二数之一又四分去一五分去二为第三数 诸数相并即球外面皮积 截球余弦求截球积术
识别得余弦乘周又乘半径为截球积之三倍 半径自乘内减余弦自乘余为正弦自乘求其圆面又乘余弦为截求内锥之三倍 两积相并为截球积半径自乘三之内减余弦自乘又以余弦乘之为第一数 四分第一数之一又二分去一三分去二为第二数 四分第二数之一又四分去一五分去二为第三数 诸数相并为截球积 截球矢求截球上盖积
识别得矢乘周又乘半径为锥积之三倍 矢乘矢径差为正弦幂求其圆面乘余弦为内锥之三倍两锥相减余为盖积矢减半径又加全径以矢自乘乘之为第一数 四分第一数之一又二分去一三分去二为第二数 四分第二数之一又四分去一五分去二为第三数 诸数相并为截球上盖积 附录椭圜求周术
椭圜求周无法可驭借平圜周求之则有三术以袤为径求大圜周及周较相减此项梅侣氏之术也以广为径求小圜周及周较相加此戴鄂士氏之术也余亦悟得一术以椭周为圜周求其径以求周即为椭圜之周术更直捷兼可贯三术为一术如后方堆垛术曰一为第一数一乘三乘第一数四除之为第二数三乘五乘第二数九除之为第三数五乘七乘第三数十六除之为第四数七乘九乘第四数二十五除之为第五数九乘十一乘第五数三十六除之为第六数依次列之为初表招差术曰广袤各自乘
相减四而一为乘法一次乘初表第一数二次乘第二数三次乘第三数四次乘第四数五次乘第五数六次乘第六数仍依次列之为表根招差又术曰以袤为除法一次除表根第一数三次除第二数五次除第三数七次除第四数九次除第五数十一次除第六数相并为袤径较以减袤为借圜径堆垛又术曰三因借圜径为第一数四分第一数之一二分去一三分去二为第二数四分第二数之一四分去一五分去二为第三数四分第三数之一六分去一七分去二为第四数四分第四数之一八分去一九分
去二为第五数四分第五数之一十分去一十一分去二为第六数递求至若干位相并为椭圜周
右术分四层即用项氏术变通得之其图说之详已见项氏书中兹不复赘若用戴氏术通之前后三层均如旧惟第三层不同如下招差又术曰以广为除法一次除表根第一数正三次除第二数负五次除第三数正七次除第四数负九次除第五数正十一次除第六数负递求至若干位正数相并内减负数余为广径较以加广亦为借圜径此即戴氏术变通得之余三层皆同前若移第四层为第一层先以求大圜周或以广求小圜周后依初表表根及招差又术各得周较加减所得并同即项戴二君术也四元
解序
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